Estadística 9

Diagrama de Árbol

es una herramienta que se utiliza para determinar si en realidad en el cálculo de muchas opciones se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta de una serie de pasos, donde cada uno de estos tiene un número infinito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

El espacio muestral del experimento que consiste en lanzar dos monedas simultáneamente, se puede escribir a partir del diagrama de árbol. S = {(cara, cara); (cara, sello); (sello, cara); (sello, sello)}

Ejemplos

Una universidad está formada por tres facultades:

• La 1ª con el 50% de estudiantes.
• La 2ª con el 25% de estudiantes.
• La 3ª con el 25% de estudiantes.

Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.

El taller esta En classroom 

FACTORIAL

El factorial de un entero positivo se define en principio como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta "n".

Se representa:

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (elementos sin repetición).

Si tenemos por ejemplo un número n, que represente un número natural mayor que 1, lo llamaremos factorial de n y lo representaremos como n!, al producto de los n número no nulos que aparecen primero. Con esto lo que queremos decir es que un número factorial es el producto de varios números naturales siguientes a partir de uno. Entonces para todo número natural n, se denomina factorial o factorial de n al producto de todos los números naturales desde 1 hasta n. Observemos el siguiente ejemplo:

0! se lee cero factorial

Por ejemplo:  4!   se lee cuatro factorial y se resuelve así:

                      4! = 1 x 2 x 3 x 4  se multiplica todos los números

                      4! = 24

Propiedad: Hay que tener en cuenta la siguiente propiedad de números factoriales 

                                 n! = (n-1)! x n     donde n = 3

                                                 3! = ( 3 - 1 )! x 3

                                                 3! = ( 2 )! x 3

                                                 3! = 2 x 3

                                                 3! = 6

Ahora  hallaremos los siguientes factoriales:

Reducir un Factorial:

   7! * 8  =  1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8

   7! * 8  =   8!

Expresar 6! en 5!

   6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6

   6! = 5! x 6

Otro ejemplo:

Otro Ejemplo

Doble factorial

Se define el doble factorial de n mediante la relación de recurrencia:

${\textstyle n!!=\left\{{\begin{array}{lcl}1&{\mbox{si}}&n=0\\(n-2)!!\cdot n&{\mbox{si}}&n\neq 0\\\end{array}}\right.}$

Por ejemplo:

${\displaystyle 8!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8=384}$

${\displaystyle 9!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945}$

El doble factorial de un número negativo par no está definido.

Algunas identidades de los dobles factoriales:

1. ${\displaystyle n!=n!!(n-1)!!\,}$
2. ${\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!\,}$

Actividad 2 esta en classroom

Geometría 9

Cilindro: Cuerpo geométrico formado por una superficie lateral curva y cerrada y dos planos paralelos que forman sus bases, superficie que se forma cuando una recta, llamada generatriz gira alrededor de otra recta paralela, eje. Otra forma de definirlo es el cuerpo que se genera cuando un Rectángulo gira alrededor de uno de sus lados.

• Eje. Es el lado fijo alrededor del que gira el rectángulo

• Bases. Son aquellos círculos que crean los lados perpendiculares al eje

• Generatriz. Es el lado que engendra el cilindro, opuesto al eje. La generatriz del cilindro es igual a la altura.

• Altura. Es la distancia entre las bases y es igual a la generatriz.

                                                 

Un cilindro puede ser

• Cilindro rectangular: si el eje del cilindro es perpendicular a las bases                                                                           

• Cilindro oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases                                                                                                            

• Cilindro de revolución: si está limitado por una superficie cilíndrica de revolución.                                                   

                            

                            

Ejemplos de la Clase Cilindro

Es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

Elementos de Un Cono

• Base (B): es la cara plana inferior del cono, que en el caso del cono circular recto, es un círculo cuyo radio es uno de los catetos del triángulo generador.
• Altura (h): distancia del plano de la base al vértice de la pirámide.
• Vértice (V): punto donde confluyen las infinitas generatrices.
• Generatriz (g): Línea que al girar sobre el eje del cono engendra la superficie cónica de revolución.
• Superficie generatriz (S_g):en el cono recto de revolución,es el triángulo rectángulo que lo engendra al girar 360° sobre uno de sus catetos, que es el eje de rotación y, que es a su vez, la altura del cono. El otro cateto es el radio de la base. La hipotenusa la generatriz (g).
  

Otras definiciones:  El desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y un círculo. El sector circular está delimitado por dos generatrices; la medida del lado curvo (longitud del arco) debe ser igual a la longitud de la circunferencia de la base (perímetro de la circunferencia)

Área Total de Un Cono

Esta compuesta por el área lateral y el área de la base:

Ejemplo 1:

Volumen Del Cono

Con recipientes de forma cilíndrica o cónica es posible comparar su volumen. De esta manera, es posible verificar que el volumen del cono es 1/3 del volumen de un cilindro que tiene la misma base y la misma altura. Por lo tanto el volumen del conoce puede calcular con la fórmula:

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LA ESFERA

Elemento	Ejemplo
Esfera: La esfera es el espacio geométrico de puntos que equidistan a un mismo punto que se denomina centro. El radio es la distancia entre el centro y un punto de la esfera, y se denota r.
Semiesfera: Es cada una de las partes en que queda dividida la superficie esférica por un plano que pasa por el centro de la esfera, llamado plano diametral. También se le conoce como hemisferio.
Huso esférico: El huso esférico es la parte de la superficie de una esfera comprendida entre dos planos que se cortan en el diámetro de aquella.
Casquete esférico: Un casquete esférico es cada una de las partes de la esfera determinada por un plano secante.
Zona esférica: Una zona esférica es la parte de la esfera comprendida entre dos planos secantes paralelos.

1.      La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de radio 50 m. Si restaurarla tiene un costo de 300 € el m², ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?

                                                       

Solución:

1.      Calcular el área

Necesitaremos la fórmula del área

A = 2 π r²

A = 2 π (50m)²

A = 15707, 96 m²

2.      Calcular el costo

Para calcular el importe total, el área que necesita restaurarse se tiene que multiplicar por lo que cuesta restaurar cada metro cuadrado

Precio de restauración = 15.707,96 m² * 300 €

Precio de restauración = 4.712.388,98 €

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